Estudio detallado del
JUEGO DE LOS DOS MONTONES

Nº de jugadores: 2

Tablero: Dos montones distinto nº. de fichas cada uno. Por ej. 21 y 16.

Movimientos: El jugador que tiene el turno retirar al menos una ficha y

- o bien tantas fichas como quiera de uno de los montones

- o bien el mismo nº de fichas de los dos montones.

Final: Gana el jugador que retira la última ficha.

Estrategia Ganadora. Una situación del juego es un par cualquiera de números que responda a la cantidad de fichas de los dos montones en un cierto momento del juego. Una situación es F (par fatal) si el jugador que se la encuentra pierde siempre que el contrario sepa jugar.

La siguiente tabla da las situaciones fatales.

f = nº de fichas del montón pequeño, g = nº de fichas del montón grande

# Tabla de situaciones F fatales

g-f | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ...etc.
f | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 16 | ...etc.
g | 2 | 5 | 7 | 10 | 13 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 | ...etc.

Obviamente, la estrategia ganadora consiste en dejarle al contrario una situación F con la seguridad de que no podrá salir de ella. Por ejemplo, la jugada buena del jugador que comienza el juego: como g-f = 21-16 = 5, debemos dejar al contrario la situación 8, 13, sacando 8 de cada uno de los montones.

SITUACIÓN GENERAL Y ESTUDIO DEL JUEGO. Veremos de dónde sale la tabla anterior, demostraremos que las situaciones de la tabla son fatales y lo generalizamos a cualquier número de fichas que tengan los montones.

Definimos la sucesión doble {f(n),g(n)} por recurrencia:

1.- {f(1),g(1)} = {1,2}

2.- f(n+1)=f(n)+1 si (f(n)+1) Ï {g(1), ... ,g(n)}

f(n+1)=f(n)+2 si (f(n)+1) Î {g(1), ... ,g(n)}

3.- g(n)=f(n)+n.

Consecuencias:

1. f(n)<g(n) siempre.

2. f(n) ¹ f(n’) y g(n) ¹ g(n’) si n ¹ n’.

3. Los conjuntos {f(n)} y {g(n)} son una partición de los números naturales N.

Por razones obvias, a un elemento de esta sucesión doble lo llamaremos también situación fatal.

La sucesión definida así coincide con la tabla de situaciones fatales:

N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ...etc.
f(n) | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 16 | 17 | 19 | 21 | 22 | 24 | 25 | ...etc.
g(n) | 2 | 5 | 7 | 10 | 13 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 | 28 | 31 | 34 | 36 | 39 | 41 | ...etc.

Definición: Se llama movimiento en situación {a,b} cualquiera a restar uno de los siguientes pares: {k,0}, {0,k}, {k,k} a {a,b},siendo k >=0.

Proposición:

a.- Un movimiento a partir de una situación F siempre da lugar a una situación No F.

b.- Desde una situación No F siempre hay algún movimiento que da lugar a una situación F.

Las demostraciones se siguen por Inducción a partir de la definición recurrente de la sucesión doble {f(n),g(n)}. Se trata de analizar pormenorizadamente los posibles movimientos en un caso o en el otro.

Demostración de a. Llamaremos A al jugador que tiene el turno y B al otro. Supongamos que A se encuentra con una situación F: {f(n),g(n)}. Veremos que ningún movimiento de A deja otra situación F. Las posibles jugadas de A son:

1.- A juega {k,k}, 0<k<f(n), dejando a B {f(n)-k, g(n)-k}. Si esta pareja fuera F sería = {f(n’),g(n’)} para cierto n’<n. Pero entonces n’=g(n’)-f(n’)=(g(n)-k)-(f(n)-k)=g(n)-f(n)=n. Contradicción.

2.- A juega {k,0}, 0<k<f(n), dejando a B {f(n)-k, g(n)}. Si esta pareja fuera F sería = {f(n’),g(n’)} para cierto n’<n. Pero entonces g(n)=g(n’) para n ¹ n’. Contradicción.

3.- A juega {0,k}, 0<k<g(n), dejando a B {f(n), g(n)-k}. Si esta pareja fuera F sería = {f(n’),g(n’)} para cierto n’<n. 3.1. Si g(n)-k>f(n) entonces f(n)=f(n’) para n ¹ n’. Contradicción.

3.2. Si g(n)-k<=f(n) entonces f(n)=g(n’). Contradicción pues {f(n)} y {g(n)} son disjuntos.

Conclusión: a partir de una situación F no se puede dejar otra situación F, luego la nueva situación será siempre No F.

Demostración de b. Supongamos que A se encuentra una situación {p,q}, p<q No F. Veremos que siempre existe un movimiento de A que deja a B una situación F.

1.- Si p = f(n) para cierto n.

1.1. Si q>g(n). Entonces A jugará {0, q-g(n)} dejando a B en {f(n),g(n)} que es F.

1.2. Si f(n)<q<g(n) y q=g(n’) para cierto n’<n. Entonces A jugará {f(n)-f(n’),0} dejando a B con {f(n’), g(n’)} que es F.

1.3. Si f(n)<q<g(n) y q=f(n’) para cierto n’>n. Sea m=f(n’)-f(n). Entonces A jugará {f(n)-f(m),f(n)-f(m)} dejando a B en {f(m), g(m)} que es F.

2.- Si q = g(n) para cierto n.

2.1. Si f(n)<p<q=g(n). Entonces A juega {p-f(n),0} dejando a B en {f(n),g(n)} que es F.

2.2. Si p<f(n) pero p=f(n’) para cierto n’<n. Entonces A juega {0,g(n)-g(n’)} dejando a B en {f(n’),g(n’)} que es F.

2.3. Si p<f(n) pero p=g(n’) para cierto n’<n. Sea m=g(n)-g(n’). Entonces A juega {0,g(n)-f(n’)} y deja a A en situación {f(n’), g(n’)} que es F.

EL JUEGO DORNIM B.

Nº Jugadores:2.

Tablero: Un tablero como el del ajedrez con 8x7 casillas con una ficha roja en el extremo superior izquierdo y la meta en el extremo inferior derecho.

Movimientos: Cada jugador en su turno mueve la ficha roja sólo en uno de los tres sentidos: horizontal-derecha, vertical-abajo y diagonal, tantos espacios como se quiera pero un espacio al menos.

Final: Gana el jugador que llega a la meta, la casilla M inferior derecha.

Estrategia ganadora. Este juego es análogo al anterior con dos montones de 7 y 6 fichas respectivamente. La numeración de las columnas de la figura nos indica el “número de fichas que quedan” en cada casilla de modo que las casillas fatales serían las marcadas en gris. Estas casillas corresponden a (1,2), (2,1), (3,5), (5,3), (7,4). Y no hay más casillas fatales, pero son suficientes.